二项式定理

\[\left( a+b \right)^{n} =\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}} =C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\cdots +C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}+\cdots+C_{n}^{n}b^{n} (n\in\mathbb{N}^{*})\]

等式右边即为$\left( a+b \right)^{n}$的二项展开式，它共有$n+1$项

第$r+1$项 $T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}$ ($a$,$b$不能调换位置)

$C_{n}^{r}$（$r=0,1,2,\cdots,n$）叫做第$r+1$项的**二项式系数*

性质

对称性

\[C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\]

【证明】
方法（一） 直接由定义 \[C_{n}^{k}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+2)(n-k+1)}{k!}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\]
\[C_{n}^{n-k}=\dfrac{n(n-1)\cdots(k+1)}{(n-k)!} =\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\]
方法（二） 注意到组合学上的意义，从$n$个元素中选$k$个元素，与从 $n$ 个元素中选出$n-k$个元素再剔除掉，保留剩下$k$个是等价的。

单峰性

$n$为偶数时， $C_{n}^{0} < C_{n}^{1} < \cdots < C_{n}^{n/2-1} < C_{n}^{n/2}$, $C_{n}^{n/2} > C_{n}^{n/2+1} > \cdots > C_{n}^{n-1} > C_{n}^{n}$

$n$为奇数时， $C_{n}^{0} < C_{n}^{1} < \cdots < C_{n}^{(n-1)/2}=C_{n}^{(n+1)/2}$, $C_{n}^{(n-1)/2}=C_{n}^{(n+1)/2}>\cdots>C_{n}^{n-1}>C_{n}^{n}$

证明：
令$1\leq k\leq n$，
$ = = $
当$n$为偶数时
若$k\leq\dfrac{n}{2}$, $n-k+1\geq n-\dfrac{n}{2}+1>\dfrac{n}{2}\geq k$, 这就得到$C_{n}^{k}>C_{n}^{k-1}$
若$k\geq\dfrac{n}{2}+1$, $n-k+1\leq n-(\dfrac{n}{2}+1)+1=\dfrac{n}{2} < k$, 这就得到$C_{n}^{k} < C_{n}^{k-1}$
当$n$为奇数时
若$k=\dfrac{n+1}{2}$, $n-k+1=n-\dfrac{n+1}{2}+1=\dfrac{n+1}{2}=k$, 这就得到$C_{n}^{(n-1)/2}=C_{n}^{(n+1)/2}$
若$k\leq\dfrac{n-1}{2}$, $n-k+1\geq n-\dfrac{n-1}{2}+1>\dfrac{n+1}{2}\geq k$, 这就得到$C_{n}^{k}>C_{n}^{k-1}$
若$k > \dfrac{n+1}{2}$ $n-k+1 < n-\dfrac{n+1}{2}+1=\dfrac{n+1}{2} < k$ 这就得到$C_{n}^{k} < C_{n}^{k-1}$

和为$2^n$

\[\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}}= C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\cdots+C_{n}^{n}=2^{n}\]

【证明】一个$n$元素集合恰好有$2^n$个子集（子集的集合也即幂集）
每个子集可能有$0$个元素、$1$个元素、…、$n$个元素
具有$0$个元素的子集有$C_{n}^{0}$个具有$1$个元素的子集有$C_{n}^{1}$个具有$2$个元素的子集有$C_{n}^{2}$个 … 具有$n$个元素的子集有$C_{n}^{n}$个
$\sum_{r=0}^{n}{C_{n}^{r}} =C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+\cdots+C_{n}^{n}$即是该$n$元素集合的子集的个数，等于$2^n$