文章大纲
一些简单总结
| 实验 | 波程差 \(\delta\) | 字母释义 | 半波损失 |
|---|---|---|---|
| 杨氏双缝干涉实验 | \(d \cdot \dfrac{x}{D}\) | \(d\): 两光源距离 \(D\): 狭缝平面与屏幕距离 | |
| 等倾干涉 | \(2 e \sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2} \cdot \sin ^{2} i} +\dfrac{\lambda}{2}\) | \(e\): 厚度 \(n_2\): 薄膜折射率 \(n_1\): 介质折射率 | (条件) |
| 增透/反膜的 反射光波程差 | \(2 n_{2} d\) | \(n_2\): 薄膜折射率 | (条件) |
| 劈尖干涉 | \(2 n e+\dfrac{\lambda}{2}\) | (近似垂直入射) \(n\): 夹层介质折射率 | (条件) |
| 牛顿环* | \(2 e+\frac{\lambda}{2}\) | \(e\): 空气薄层厚度 | |
| 单缝夫琅和费衍射 | \(a \sin \theta\) | \(a\): 缝宽 \(\theta\): 衍射角 | |
| 光栅方程 | \(d\sin \theta=(a+b) \sin \theta\) | \(d=a+b\): 光栅常量 \(\theta\): 衍射角 |
光波及其相干条件
光波的描述方法 (P284)
- 在波动光学中，主要讨论的是相对光强，因此在同一介质中直接把光强定义为：\(\bar{I}=E_{0}^{2}\)
光的叠加性 相干条件 (P285)
非相干叠加：独立光源的两束光或同一光源的不同部位所发出的光的位相差“瞬息万变”。
条件： （1）频率相同 （2）振动方向相同 （3）具有固定的位相差
\(E_{1}\left(\vec{r}_{1}, t\right)=E_{10} \cos \left(\omega t-k r_{1}+\varphi_{1}\right)\)
\(E_{2}\left(\vec{r}_{2}, t\right)=E_{20} \cos \left(\omega t-k r_{2}+\varphi_{2}\right)\)
\(E=\sqrt{E_{10}^{2}+E_{20}^{2}+2 E_{10} E_{20} \cos \Delta \varphi}\)
\(\Delta \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}-\dfrac{2 \pi}{\lambda}\left(r_{2}-r_{1}\right)\)
\(2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos \Delta \varphi \rightarrow\) 干涉项
\(I=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos \Delta \varphi\)
相长干涉：\(\Delta \varphi=\pm 2 k \pi \quad I=4 I_{1} \quad\)
相消干涉：\(\Delta \varphi=\pm(2 k+1) \pi \quad I=0\)
获得相干光波一般方法
1 分波前的方法 杨氏干涉 2 分振幅的方法 等倾干涉、等厚干涉
光程和光程差
在介质中传播的波长，折算成真空中波长的关系：\(\lambda_{n}=\frac{\lambda}{n}\)
光程这个概念可将光在介质中走过的路程，折射为光在真空中的路程
均匀介质中，光程\(L=n r=\dfrac{c}{u} r=c t\)
光程差\(\delta=\left(n_{2} r_{2}-n_{1} r_{1}\right)\)
\(\Delta \varphi=\Delta \varphi_{0}-\frac{2 \pi}{\lambda} \delta\)
两相干光源同位相， \(\Delta \varphi=-\frac{2 \pi}{\lambda} \delta\)
两相干光源同位相，干涉条件
\(\begin{array}{lll}\delta=\pm k \lambda & k=0,1,2 \cdots & \text { 加强 (明) } \\ \delta=\pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2} & k=0,1,2 \cdots & \text { 减弱 (暗) }\end{array}\)
使用透镜不会引起各相干光之间的附加光程差。
分波阵面干涉
杨氏双缝干涉实验
\(\begin{aligned} \delta &=r_{2}-r_{1} \approx d \sin \theta \approx d \operatorname{tg} \theta=d \cdot \frac{x}{D} \end{aligned}\)
干涉加强，明纹位置： \(\delta=\pm k \lambda\) \(x_{\pm k}=\pm k \frac{D}{d} \lambda, k=0,1,2 \cdots\)
干涉减弱，暗纹位置： \(\delta=\pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2}\) \(x_{\pm(2 k+1)}=\pm(2 k+1) \frac{D}{2 d} \lambda\)
- 两相邻明（或暗）条纹间的距离称为条纹间距。 条纹间距\(\Delta x=x_{k+1}-x_{k}=\frac{D}{d} \lambda\) (与\(k\)无关)
- 复色光：内→外：紫→红
- 光源上下移动，条纹反向移动。
菲涅耳双面镜实验(P289)
明条纹中心：\(x=k \lambda \frac{D}{d}\)
暗条纹中心：\(x=\frac{2 k+1}{2} \lambda \frac{D}{d}\)
（\(k=0, \pm 1, \pm 2 \cdots\)）
劳埃德镜实验
当屏幕 E 移至E'处，从 S1和 S2 到 L点的光程差为零，但是观察到暗条纹，验证了反射时有半波损失存在。
分振幅干涉
等倾干涉
\(\delta=n_{2}(A B+B C)-n_{1} AD +\dfrac{\lambda}{2}\)(半波损失)
\(\delta=2 e \sqrt{n_{2}^{2}-n_{1}^{2} \cdot \sin ^{2} i}+\dfrac{\lambda}{2}\)(半波损失)
\(\delta=\left\{\begin{array}{cll}k \lambda & k=1,2, \cdots & \text { 加强,明纹 } \\ (2 k+1) \lambda / 2 & k=0,1,2, \cdots & \text { 减弱,暗纹 }\end{array}\right.\)
有半波损失（外程差）： \(n_{1} < n_{2} > n_{3}\) 或 \(n_{1} > n_{2} < n_{3}\) 无半波损失（外程差）： \(n_{1} > n_{2} > n_{3}\) 或 \(n_{1} < n_{2} < n_{3}\)
- \(e\)一定，同一级条纹具有相同的倾角，称这种干涉为等倾干涉
- \(i\)一定，则对应不同的厚度有不同的干涉，这种干涉叫等厚干涉。
- 入射角\(i\)越小，光程差越大，条纹越在中心，干涉级越大。
- 当膜厚减小时：盯住某条明纹，\(\delta\)不变，\(e\)减小，\(i\)减小，条纹向里收缩，中心处明暗交替。
增透膜和增反膜
增透膜，反射光相干相消的条件是：\(2 n_{2} d=(2 k+1) \lambda / 2\)
等厚干涉
劈尖干涉
\(\delta=2 n_{2} e+\frac{\lambda}{2}(半波损失)=\left\{\begin{array}{lll}k \lambda & k=1,2,3 \cdots & \text { 明条纹 } \\ (2 k+1) \lambda / 2 & k=0,1,2 \cdots & \text { 暗条纹 }\end{array}\right.\)
劈棱处为明纹还暗纹, 应视 \(n 、 n_{1} 、 n_{2}\) 的值而定，若\(n_{1} < n < n_{2}\) 或 \(n_{1} > n > n_{2}\) , 膜上、下表面的两反射光或均有半波损失，两半波损失相抵或均无半波损失, 劈棱处 \(e=0\), 光程差 \(\delta = 0\), 为明条纹, 否则 \(e = 0\) 处 \(\delta = \lambda / 2\), 为暗条纹。
空气劈尖有半波损失！
\(\left\{\begin{array}{l}l \sin \theta=e_{k+1}-e_{k} \\ e_{k+1}-e_{k}=\frac{\lambda}{2 n_{2}}\end{array}\right.\)\(\Rightarrow l=\dfrac{\lambda}{2 n_{2} \sin \theta}\)
- 薄膜厚度增加时，条纹下移；薄膜的\(\theta\)增加时，条纹下移
牛顿环
\(\delta=2 e+\frac{\lambda}{2}=\left\{\begin{array}{ccc}k \lambda & k=1,2,3 \cdots & \text { 明条纹 } \\ (2 k+1) \lambda / 2 & k=0,1,2 \cdots & \text { 暗条纹 }\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}r^{2}=R^{2}-(R-e)^{2}=2 R e-e^{2} \\ R>>e\end{array}\right.\) \(\quad\Rightarrow e=\dfrac{r^{2}}{2 R}\)
\(\left\{\begin{array}{lll}r_{K}=\sqrt{\dfrac{(2 k-1) R \lambda}{2}} & k=1,2,3 \cdots & \text { 明条纹 } \\ r^{\prime}=\sqrt{k R \lambda} & k=0,1,2 \cdots & \text { 暗条纹 }\end{array}\right.\)
条纹内疏外密：\(r_{k+1}-r_{k}=(\sqrt{(k+1)}-\sqrt{k}) \sqrt{R \lambda}=\frac{\sqrt{R \lambda}}{\sqrt{(k+1)}+\sqrt{k}}\)
迈克耳逊干涉仪
\(G1\) -半涂银镜 \(G2\) - 补偿透镜 \(M1、M2\) - 反射镜 \(E\) - 眼及望远镜
光束\(2'\)和\(1'\)发生干涉：
\(\begin{array}{ll}\text { 若 } M^{\prime}{ }_{1} 、 M_{2} \text { 平行 } & \Rightarrow \text { 等倾条纹 } \\ \text { 若 } M^{\prime}{ }_{1} 、 M_{2} \text { 有小夹角 } & \Rightarrow \text { 等厚条纹 }\end{array}\)
当 \(\mathrm{M}_{1}\) 每平移 \(\dfrac{\lambda}{2}\) 的距离时,视场中就有一条明纹移过. 所以数出视场中移过的明纹条数 \(N\), 就可算出 \(\mathrm{M}_{1}\) 平移的距离\(d=N \dfrac{\lambda}{2}\)
光的衍射
单缝夫琅和费衍射
\(\delta=a \sin \theta= \begin{cases}0 & \text {中央明纹} \\ \pm(2 k+1) \frac{\lambda}{2} & k=1,2,3 \ldots \text {明纹} \\ \pm 2 k \frac{\lambda}{2}=k \lambda & k=1,2,3 \ldots \text {暗纹} \\ \text {非以上值: } & \text {介于明纹与暗纹之间}\end{cases}\)
\(\theta_0 \approx \sin \theta_0 \approx \tan \theta_0\)
- 中央亮纹半角宽度\(\Delta \theta_0=\dfrac{\lambda}{a}\)
- 中央亮纹线宽度\(\Delta x_{0}=2 f \tan \theta_0 \approx 2f \theta_0=\dfrac{2 f \lambda}{a}\)
- 其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。
若考虑折射率\(n \neq 1\)时，
\(\delta=na \sin \theta\)，
中央亮纹线宽度\(\Delta x_{0}=\dfrac{2 f \lambda}{na}\)
- 缝越窄（\(a\)越小）,\(\theta\)就越大, 条纹变宽，衍射现象越明显；反之，条纹向中央靠拢。
- 条纹宽度随波长的减小而变窄。
- 单缝上下移动，\(\theta\)不变，条纹位置不变。
圆孔夫琅和费衍射
\(\because \tan \theta \approx \theta \approx \sin \theta=0.61 \dfrac{\lambda}{r}=1.22 \dfrac{\lambda}{d}\)
\(\therefore\) 艾里斑线半径$ R=1.22 f$
光学仪器的分辨本领
最小分辨角: \(\theta_{k}=\sin \theta=1.22 \dfrac{\lambda}{d}\)
分辨率: \(\dfrac{1}{\theta_{R}}=\dfrac{d}{1.22 \lambda}\)
\(d\) - 光学仪器的透光孔径
光栅衍射
衍射光栅
光栅方程
多缝干涉明条纹也称为主极大。
明条纹：\[\delta=d\sin \theta=(a+b) \sin \theta=\pm k \lambda \quad k=0,1,2,3 \cdots\]
当单色平行光倾斜地射到光栅上时，相邻两缝的入射光在入射到光栅前已有光程差 \((a+b) \sin \theta_{0}\)
\[(a+b)\left(\sin \theta \pm \sin \theta_{0}\right)=\pm k \lambda \quad k=0,1,2,3 \cdots\]
缺级
\[\displaystyle\begin{cases}a \cdot \sin \theta=\pm k^{\prime} \lambda & k^{\prime}=1,2, \cdots &(单缝衍射暗纹)\\ (a+b) \cdot \sin \theta=\pm k \lambda & k=1,2, \cdots &(光栅方程明纹)\end{cases}\]
$k= k^{} \(就是所缺的级次\)k^{}=1,2, $
光栅光谱(P310)
如果有几种单色光同时投射在光栅上，在屏上将出现光栅光谱。
X射线晶体在晶体中的衍射
干涉加强条件（布喇格公式）:
\[2 d \sin \phi=k \lambda \quad k=1,2 \cdots\]
光的偏振
自然光和偏振光
偏振度: \(\quad p=\dfrac{I_{p}}{I_{t}}=\dfrac{I_{p}}{I_{n}+I_{p}}\)
\(I_{n} \rightarrow\) 自然光强度 \(\quad I_{p} \rightarrow\) 完全偏振光强度
\(\begin{array}{lll}\text { (1)完全偏振光 } & I_{n}=0 & p=1 \\ \text { (2)自然光 } & I_{p}=0 & p=0 \\ \text { (3)部分偏振光 } & I_{p} \neq 0 & 0<p<1\end{array}\)
椭圆偏振光和圆偏振光都是完全偏振光，均可等效为两个具有恒定相位差、相同振动频率、振动方向相互垂直的线偏振光。
起偏和检偏
起偏：使自然光（或非偏振光）变成线偏振光的过程。
检偏：检查入射光的偏振性。
线偏振光通过旋转的检偏器，光强发生变化，有消光现象
自然光通过旋转的检偏器，光强不变。
部分偏振光通过旋转的检偏器，光强发生变化。
自然光通过起偏器，成为线偏光
马吕斯定律
如果入射线偏振光的光强为 \(I_{1}\), 透过检偏器后, 透射光的光强I为
\[I_{2}=I_{1} \cos ^{2} \alpha\]
布儒斯特定律
——反射光和折射光的偏振
\(i_0\): 布儒斯特角/起偏角
\(\tan i_0=\dfrac{n_{2}}{n_{1}} \equiv n_{21}\) 或 \(i_{0}+r_{0}=\dfrac{\pi}{2}\)
反射光成为其振动方向垂直于入射面的线偏振光。
晶体的双折射
- 当方解石晶体旋转时，\(o\)光不动，\(e\)光围绕\(o\)光旋转
- 对于各向异性晶体，一束光射入晶体后，可以观察到有两束折射光的现象。
- 寻常光：对于晶体一切方向都具有相同的折射率（即波速相同），且在入射面内传播，简称它为\(o\)光。
- 非常光：它的折射率（即波速）随方向而变化，并且不一定在入射面内传播，简称为\(e\)光。
- \(o\)光和\(e\)光都是线偏振光。
- 寻常光线（\(o\)光）：遵守折射定律 非常光线（\(e\)光）：不遵守折射定律
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